[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Aby taki ruch można było zrealizować, bryła (wirnik)musi być ograniczona więzami.Są nimi najczęściej łożyska, w których w czasieruchu bryły powstają odpowiednie reakcje.Z kinematyki wiadomo, że obracająca się bryła wokół stałej osi obrotu ma jedenstopień swobody.Taki ruch bryły można jednoznacznie opisać jednym równaniemruchu w postaci kąta obrotu w funkcji czasu ϕ = ϕ(t).lz = z′εωWy′MoϕOyrcϕCxx′Rys.7.25.Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół głównej osi bezwładnościDla wyprowadzenia dynamicznego równania ruchu bryły założymy, że bryłaobraca się ruchem dowolnym, czyli że prędkość kątowa bryły nie jest stała, wokółosi z = z′ będącej główną osią bezwładności (rys.7.25).Ponadto przyjmujemy, żepoczątki nieruchomego układu współrzędnych x, y, z i ruchomego znajdują się wnieruchomym punkcie O znajdującym się na osi obrotu l.Poza tym dlauproszczenia wzorów założymy, że środek masy C bryły leży na osi x′.Ponieważ dla takiego ruchu prędkość kątowa ω i przyśpieszenie kątowe ε leżąna osi obrotu, zatemω ′ = ω ′ = 0 i ε ′ = ε ′ = 0 , (b)xyxya wektory ω i ε można zapisać wzorami:dϕω = ω k = ω ′ k′ = ωk′ =k ,′zzdtdωd2ϕε = ε k = ε ′ k′ = ε k′ =k′ =k′.zzdtdt 2Przyśpieszenie aC środka masy C obliczymy ze wzoru (5.37) podanego w p.5.3.4 dotyczącym kinematyki ruchu obrotowego:a = ε× r + ω× ω× rCC().CPo podstawieniu do tego wzoru zależności r = r i′ , wynikającej wprost zCCrys.7.25, otrzymamy:a = ε k ×′ r i′+ ωk ×′rε rr,CC(ωk ×′ i′C) =j′− ω2 i′CCczyli współrzędne przyśpieszenia środka masy wynoszą:a2′ = −ω r ,a ′ = εr , a ′ = 0.(c)CxCCyCCzWyprowadzone w poprzednim punkcie równania (7.93) po podstawieniuzależności (b) oraz wzorów (c) redukują się do postaci (7.94):− m 2ω r = W ′,Cxεm r = W ′,(7.94)CyI=′ε ′M ′.zzzOStądM= 0, M= 0 oraz W = 0.(d)Ox′Oy′z′Zzależności (d) oraz z równań (7.94) wynika, że w przypadku obrotu bryływokół głównej osi bezwładności układ sił zewnętrznych redukuje się do momentugłównego MO leżącego na osi obrotu l i wektora głównego W leżącego wpłaszczyźnie x′ y′ i prostopadłego do tej osi.Trzeciezrównań (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bryłyi przy znanych warunkach początkowych pozwala na wyznaczenie równania jejruchu ϕ = ϕ(t).Z dwóch pierwszych równań możemy wyznaczyć siły wywołanetym, że środek masy leży poza osią obrotu, czyli oś obrotu nie jest głównącentralną osią bezwładności, albo − używając terminologii z dynamiki maszyn −bryła jest niewyważona statycznie.Równania te pozwalają na wyznaczenie reakcji więzów (reakcji łożysk).Jeżeli oś obrotu l będzie główną centralną osią bezwładności, czyli środek masyC będzie leżał na osi obrotu (rC = 0), co będzie oznaczało idealne wyważeniebryły, równania (7.94) redukują się do jednego równania:I=′ε ′M , (7.95)zzzO ′a po uwzględnieniu (d) widzimy, że wszystkie współrzędne wektora głównegooraz dwie współrzędne momentu głównego są równe zeru:W ′ = W ′ = W ′ = 0 oraz M ′ = M ′ = 0.(e)xyzxOyOZ dynamicznego równania ruchu obrotowego bryły (7.95) wynika, że jeżelisuma momentów wszystkich sił zewnętrznych (sił czynnych i reakcji łożysk osiobrotu) względem osi obrotu będzie równa zeru, M= 0 , to równieżOz′ε = dω/ dt = 0 , zatem prędkość kątowa będzie stała, ω = const, czyli bryła będziesię poruszać ruchem jednostajnie obrotowym.Z takim przypadkiem będziemymieli do czynienia, gdy bryła będzie się obracać wokół pionowej osi obrotuosadzonej w idealnie gładkich łożyskach [ Pobierz całość w formacie PDF ]