[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Natomiast przez ostatnie trzy stulecia nauka zajmowała się właśnie powtarzalnością: wyszukiwaniem regularności w przyrodzie.Dopiero ostatnio, wraz z nadejściem ery szybkich maszyn cyfrowych, dostrzeżono ten bardziej fundamentalny aspekt złożoności.Tak więc widzimy, że prawa fizyki odgrywają podwójną rolę.Nie tylko wyrażają proste regularności leżące u podłoża wszystkich zjawisk fizycznych, lecz także odpowiadają za wewnętrzną strukturę - głębię logiczną - świata.To, że prawa obowiązujące w naszym Wszechświecie są w stanie wypełnić to ważne podwójne zadanie, stanowi fakt o iście kosmicznym znaczeniu.Rozdział szóstyTAJEMNICA MATEMATYKIAstronom James Jeans powiedział kiedyś, że Bóg jest matematykiem.W tym zwięzłym sformułowaniu wyraża się w metaforyczny sposób pogląd, który stał się obecnie dla omalże wszystkich naukowców wyznaniem wiary.Przekonanie, że podstawowy porządek świata da się ująć w postaci matematycznej, jest osią współczesnej nauki i mało kto podaje go w wątpliwość.Pogląd ten przyjął się tak głęboko, że żadnej dyscypliny wiedzy nie uważa się za należycie ugruntowaną, zanim riie uda się jej opisać w obiektywnym języku matematyki.Jak widzieliśmy, przekonanie, że w świecie fizycznym przejawia się ład i harmonia matematyczna, zrodziło się już w starożytnej Grecji.Jego rozkwit nastąpił w Europie okresu Odrodzenia wraz z pracami Galileusza, Newtona, Kartezjusza i innych ówczesnych uczonych.„Księga przyrody napisana jest językiem matematyki” - głosił Galileusz.Dlaczego tak jest, jest jedną z wielkich zagadek Wszechświata.Fizyk Eugene Wigner pisał o „niepojętej skuteczności matematyki w naukach przyrodniczych”, cytując C.S.Pierce'a, że „być może kryje się w tym jakaś tajemnica, która czeka wciąż na swego odkrywcę”.W niedawno opublikowanej książce2 poświęconej temu zagadnieniu, zawierającej eseje dziewiętnastu uczonych (w tym i autora tej książki), nie udało się nie tylko zgłębić tej tajemnicy, lecz nawet osiągnąć jakiegokolwiek konsensusu.Wyrażone w niej opinie są zupełnie rozbieżne: jedni utrzymują, że ludzie po prostu wynaleźli matematykę w celu porządkowania doświadczanych faktów, inni są przekonani, iż pod matematycznym obliczem przyrody kryje się głęboka, istotna treść.Czy matematyka istnieje obiektywnie?Zanim zajmiemy się zagadnieniem jej „niepojętej skuteczności”, ważne jest, by ustalić, czym właściwie jest matematyka.Istnieją dwie, zasadniczo sprzeczne, szkoły myślenia w tej kwestii.Pierwsza z nich utrzymuje, że matematyka jest tworem czysto ludzkim, druga, że istnieje ona niezależnie od człowieka.Spotkaliśmy się już z jedną z wersji takiej „twórczej”, czyli formalistycznej, interpretacji w rozdziale 4 przy okazji dyskusji programu Hilberta mechanicznego dowodzenia twierdzeń matematycznych.Przed pracami Godła możliwy był pogląd, że matematyka jest działalnością czysto formalną, będącą w istocie niczym więcej jak olbrzymią kolekcją logicznych reguł pozwalających przekształcać jedne ciągi symboli w inne.Uważano, że stanowi ona zamkniętą, samowystarczalną całość.Wszelkie związki ze światem zewnętrznym uznawano za przypadkowe, nie mające żadnego znaczenia dla uprawiania samej matematyki, które miało polegać na wynajdywaniu formalnych reguł i wszechstronnym badaniu ich konsekwencji.Jak już wspominałem w jednym z poprzednich rozdziałów, twierdzenie Godła o niezupełności matematyki położyło kres takiemu ściśle formalistycznemu stanowisku.Mimo to część matematyków nadal uważa, że matematyka jest wyłącznie tworem ludzkiego umysłu i nie ma innego znaczenia niż to, które przypisują jej matematycy.Przeciwny kierunek myślenia znany jest pod nazwą platonizmu.Przypomnijmy sobie, że Platon wyznawał dualistyczną wizję rzeczywistości, na jednym krańcu umieszczając świat fizyczny, stworzony przez Demiurga, zmienny i przemijający, natomiast na drugim świat wiecznych i niezmiennych Idei, będących czymś w rodzaju abstrakcyjnych wzorców dla elementów świata fizycznego.Obiekty matematyczne zaliczał on do świata idealnego.Zdaniem platoników prawdy matematyczne nie są przez nas tworzone, lecz odkrywane.Obiekty i twierdzenia matematyki istnieją obiektywnie, transcendując fizyczną rzeczywistość będącą przedmiotem naszej percepcji.Aby uzmysłowić sobie w pełni sens tej dychotomii, przyjrzyjmy się jej na konkretnym przykładzie.Rozważmy twierdzenie: „Dwadzieścia trzy jest najmniejszą liczbą pierwszą większą od dwudziestu.Z logicznego punktu widzenia zdanie to może być albo prawdziwe, albo fałszywe.W istocie jest ono prawdziwe.Pytaniem, jakie sobie stawiamy, jest, czy jest ono prawdziwe w bezczasowym, absolutnym sensie.Czy było prawdziwe, zanim w ogóle wynaleziono (czy też odkryto) liczby pierwsze? Platonicy odpowiadają na to twierdząco, gdyż uważają, że liczby pierwsze istnieją abstrakcyjnie, niezależnie od tego, czy ludzie o nich wiedzą czy nie.Formaliści natomiast odrzuciliby takie pytanie jako absurdalne.Co sądzą na ten temat zawodowi matematycy? Powiada się niekiedy, że matematycy są platonikami w godzinach pracy, a formalistami w czasie wolnym.Zajmując się bezpośrednio matematyką trudno oprzeć się wrażeniu, że odkrywa się coś realnie istniejącego, tak jak w naukach przyrodniczych.Obiekty matematyczne żyją własnym życiem, często wykazując zupełnie nieoczekiwane własności.Z drugiej strony, koncepcja transcendentnej dziedziny, w której miałyby bytować obiekty matematyczne, wielu matematykom wydaje się nazbyt mistyczna, aby się do niej przyznawać, i jeśli się ich o to zapyta, zwykli twierdzić, że uprawianie matematyki polega wyłącznie na żonglerce symbolami i formułami.Niemniej jednak istnieli prominentni matematycy przyznający się otwarcie do platonizmu.Należał do nich Kurt Godeł.Jak można było tego oczekiwać, Godeł oparł swą filozofię matematyki na wynikach swych badań nad rozstrzygalnością twierdzeń, rozumując, że zawsze będą istnieć twierdzenia matematyczne, które są prawdziwe, lecz nie mogą być udowodnione na podstawie istniejących aksjomatów.Wyobrażał sobie zatem, iż owe prawdziwe twierdzenia bytują „gdzieś tam” poza naszą Jaskinią”, w dziedzinie platońskich idei.Innym znanym platonikiem jest matematyk z Oxfordu, Roger Penrose.„Prawda matematyczna przekracza ramy czystego formalizmu” - pisze on.„Często odnosimy wrażenie, że pod pojęciami matematycznymi kryje się jakaś głębsza rzeczywistość, wykraczająca daleko poza deliberacje jakiegokolwiek konkretnego matematyka.Wygląda to, jak gdyby myśl człowieka kierowana była ku jakiejś zewnętrznej wobec niej, odwiecznie istniejącej prawdzie - prawdzie, która stanowi niezależną od nas rzeczywistość i ukazuje się nam jedynie w niewielkiej części”.Przytaczając jako przykład liczby zespolone, Penrose uważa, że mają one „głęboką, pozaczasową realność”.Innym przykładem, który skłonił Penrose'a do przyjęcia platonizmu, jest coś, co nazwano „zbiorem Mandelbrota”, na cześć Benoita Mandelbrota, naukowca z firmy komputerowej IBM.Zbiór ten, którego postać geometryczna zwie się „fraktalem”, związany jest blisko z teorią chaosu i dostarcza kolejnego wspaniałego przykładu, że w wyniku prostej procedury rekurencyjnej otrzymujemy obiekt o niewiarygodnym bogactwie formy i złożoności [ Pobierz całość w formacie PDF ]